Zunächst musst du ein SSL Zertifikat haben. Bei Strato ist, je nach Art des Pakets, eins kostenlos dabei. Dieses kannst du dann auf der Strato-Seite aktivieren und einer deiner Domänen zuweisen.
Dann musst du in der OSC-Datei /includes/configure.php undadmin/includes/configure.php die Pfade für alle https-Verbindungen anpassen. Also dort, wo sowas wie https://ssl-id.de/deineseite.de/ steht, dieses ersetzen durch https://deineseite.de (also das zwischengeschaltete ssl-id.de weglassen, dies war der Strato SSL-Proxy, deine Seite hat nun also selbst das SSL-Zertifikat).
Das ging insgesamt recht einfach und schnell.
Eine andere Baustelle ist aber, dass Strato PHP 5.3 abgestellt hat und nur noch 5.6 und 7.0 anbietet. Läuft dein Shop denn auf 5.6? ich habe daher aus ähnlichen Gründen auch einen alten Shop "aufgegeben" und mit einer Neuinstallation begonnen, in der ich alle alten Daten der Kunden, Bestellungen, Produkte,... importieren konnte. Das ist machbar, kann im Detail aber tückisch sein, also eventuell professionelle Hilfe beauftragen. Ich denke, an einem Umstieg auf eine aktuelle Version führt auf Dauer kein Weg dran vorbei, denn die schrittweisen Updates von 2.2 auf aktuell sind nicht wirklich überhaupt möglich.